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從命題的題設出發,經過逐步推理,來判斷命題的結論是否正確的過程,叫做證明。   

要證明一個命題是真命題,就是證明凡符合題設的所有情況,都能得出結論。要證明一個命題是假命題,只需舉出一個反例說明命題不能成立。

證明一個命題,一般步驟如下:   

(1)按照題意畫出圖形;   

(2)分清命題的條件的結論,結合徒刑,在“已知”一項中寫出題設,在“求證”一項中寫出結論;   

(3)在“證明”一項中,寫出全部推理過程。   

一、直接證明   

1、綜合法   

(1)定義:一般地,利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等,經過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法.   

(2)綜合法的特點:綜合法又叫“順推證法”或“由因導果法”.它是從已知條件和某些學過的定義、公理、公式、定理等出發,通過推導得出結論.   

2、分析法   

(1)定義:一般地,從要證明的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明的方法叫做分析法.   

(2)分析法的特點:分析法又叫“逆推證法”或“執果索因法”.它是要證明結論成立,逐步尋求推證過程中,使每一步成立的充分條件,直到最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.   

二、間接證明   

反證法   

1、定義:一般地,假設原命題不成立,經過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.   

2、反證法的特點:反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設要證的命題不成立,即結論的反面成立,在已知條件和“假設”這個新條件下,通過邏輯推理,得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設等相矛盾的結論,從而判定結論的反面不能成立,即證明了命題的結論一定是正確的.   

3、反證法的優點:對原結論否定的假定的提出,相當于增加了一個已知條件.   

4反證法主要適用于以下兩種情形:   

(1)要證的結論與條件之間的聯系不明顯,直接由條件推出結論的線索不夠清晰;   

(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進行分類討論,而從反面進行證明,只要研究一種或很少的幾種情形. 


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